Question

已知：如图，∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x
。
⑴如图⑴，当x取何值时，⊙O与AM相切；
⑵如图⑵，当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°。

Answer 1

解：（1）如图⑴，设⊙O与AM相切于C，连结OC， 则∠ACO=90°， ∵∠MAN=30°， ∴OA=2OC， ∵OC=2， ∴OA=4， ∴AD=OA-OD=2， 即当x=2时，⊙O与AM相切； （2）如图⑵，过点O作OG⊥AM于G， 当∠BOC=90°时， ∵OB=OC=2， ∴BC=2， 又∵OG⊥BC， ∴G为BC的中点， ∴OG=BC=， 又∵∠A=30°， ∴OA=2， ∴AD=2-2， 即当x=2-2时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°。