Question

已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分
别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋3－4，求BC的长．

Answer 1

（1）60°（2）4

解：（1）连接PO ,

∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。
∴∠EPO＝∠FPO。
在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝，
∴∠EPO＝30°。∴∠EPF＝60°。
（2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。

又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。
∴∠OAD＝∠ODA。∴ OA＝OD。
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD。∴ABCD是矩形。 
∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴ AO∥PF。
∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ABCD是菱形。∴ABCD是正方形。
∴ BD＝BC。
∵ BF＝BD，∴BC＋3－4＝BC，解得，BC＝4。
（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。
（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。