Question

如图，设抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C（0，-2），且∠ACB=90度．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E，求点D和点E的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使以点P，B，D为顶点的三角形与三角形AEB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）∠ACB=90°，那么可在直角三角形ACB中，用射影定理求出OB的长，即可得出m的值和B点的坐标．然后将A、B、C三点坐标代入抛物线中即可求出这个二次函数的解析式．
（2）将点D代入抛物线中，即可求得点D的坐标．然后联立抛物线和直线y=x+1的函数关系式可求出E点的坐标．
（3）可根据A和E的坐标求出AE的长，同理可求出AB的长，不难得出∠EAB=∠OBD=45°，那么要想使两三角形相似，无非有两种情况：

EA

DB

=

AB

PB

或

EA

PB

=

AB

DB

，可根据AE、AB、BD的长求出PB的长，进而可求出OP的长，也就得出了P点的坐标．

解答：解：（1）在直角△ABC中，
∵CO⊥AB
∴OC²=OA．OB
∴2²=1×m即m=4
∴B（4，0）．
把A（-1，0）B（4，0）分别代入y=ax²+bx-2，
并解方程组得a=

1

2

，b=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）把D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2得n=-3，
∴D（1，-3）
解方程组

y=x+1 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
得

x1=6 y1=7

x2=-1 y2=0

，
∴E（6，7）．

（3）作EH⊥x轴于点H，则EH=AH=7，
∴∠EAB=45°
由勾股定理得：BE=

53

，AE=7

2

，
作DM⊥x轴于点M，则DM=BM=3，
∴∠DBM=45°由勾股定理得BD=3

2

．
假设在x轴上存在点P满足条件，
∵∠EAB=∠DBP=45°，
∴

EA

DB

=

AB

PB

或

EA

PB

=

AB

DB

，
即

7 2

3 2

=

5

PB

或

7 2

PB

=

5

3 2

，
∴PB=

15

7

或PB=

42

5

，OP=4-

15

7

=

13

7

或OP=4-

42

5

=-

22

5

．
∴在x轴上存在点P₁（

13

7

，0），P₂（-

22

5

，0）满足条件．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（3）中要根据相似三角形对应边的不同来分类求解，不要漏解．