Question

已知二次函数的图象是经过点A（1，0），B（3，0），E（0，6）三点的一条抛物线．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线的顶点为C，对称轴交x轴于点D，在y轴正半轴上有一点P，且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由抛物线与x轴的两交点坐标（1，0）（3，0）设出解析式y=a（x-1）（x-3），再把（0，6）代入求解a值即可．
（2）由抛物线的解析式先确定C、D两点坐标，再由△AOP∽△ACD，求得P点坐标．

解答：解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-1）（x-3），
∵过E（0，6），∴6=a×3，
∴a=2，
∴抛物线的解析式为：y=2x²-8x+6．

（2）y=2x²-8x+6=2（x²-4x+3）-2=2（x-2）²-2，
∴C（2，-2），对称轴直线x=2，D（2，0）．
△ACD为直角三角形，AD=1，CD=2，OA=1．
当△AOP∽△ACD时，

OA

AD

=

OP

CD

，

1

1

=

OP

2

，∴OP=2．
∵P在y轴正半轴上，∴P（0，2）．
当△PAO∽△ACD时，

OA

CD

=

OP

AD

，

1

2

=

OP

1

，OP=

1

2

，
P在y轴正半轴上，∴P（0，

1

2

）．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法以及数形结合的思想．