题目内容
如图，设抛物线C1：y=a（x+1）2-5，C2：y=-a（x-1）2+5，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2．（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．
①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；
②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．
【答案】分析：（1）由于两个抛物线同时经过A、B两点，将A点坐标代入两个抛物线中，即可求得待定系数的值，进而可求出B点的坐标．
（2）①已知了点D的坐标，即可求得正△DGH的边长，过G作GE⊥DH于E，易求得DE、EH、EG的长；根据（1）题所求得的C2的解析式，即可求出点M的坐标，也就能得到ME、MH的长，易证△MEG∽△MHN，根据相似三角形所得比例线段，即可求得N点的横坐标．
②求点N横坐标的取值范围，需考虑N点横坐标最大、最小两种情况：
①当点D、A重合，且直线l经过点G时，N点的横坐标最大；解法可参照（2）的思路，过点G作GQ⊥x轴于Q，过点M作MF⊥x轴于F，设出点N的横坐标，然后分别表示出NQ、NF的长，通过证△NQG∽△NFM，根据所得比例线段，即可求得此时N点的横坐标；
②当点D、B重合，直线l过点D时，N点的横坐标最小，解法同①．
解答：
解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上，
∴把点A坐标代入y=a（x+1）2-5得a=1，
∴抛物线C1的解析式为y=x2+2x-4，
设B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；
（2）①如图
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，
∴点M在DH上，MH=5，
过点G作GE⊥DH，垂足为E，
由△DHG是正三角形，可得EG=
，EH=1，
∴ME=4，
设N（x，0），则NH=x-1，
由△MEG∽△MHN，得
，
∴
，
∴x=
，
∴点N的横坐标为
；
②当点D移到与点A重合时，如图，
直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；
过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，
设N（x，0），
∵A（2，4），即AH=4，且△AGH为等边三角形，
∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
∴GQ=
HG=2，HQ=
=2
，
∴OQ=OH+HQ=2+2
，
∴G（
，2），
∴NQ=
，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
∵△NGQ∽△NMF，
∴
，
∴
，
∴
，
当点D移到与点B重合时，如图：
直线l与DG交于点D，即点B，
此时点N的横坐标最小；
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），D（-2，-4），
设N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点N横坐标的范围为
≤x≤
且x≠0．
点评：此题是二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质；在解答（2）题时，关键是正确地作图，构造出与所求相关的相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解．
（2）①已知了点D的坐标，即可求得正△DGH的边长，过G作GE⊥DH于E，易求得DE、EH、EG的长；根据（1）题所求得的C2的解析式，即可求出点M的坐标，也就能得到ME、MH的长，易证△MEG∽△MHN，根据相似三角形所得比例线段，即可求得N点的横坐标．
②求点N横坐标的取值范围，需考虑N点横坐标最大、最小两种情况：
①当点D、A重合，且直线l经过点G时，N点的横坐标最大；解法可参照（2）的思路，过点G作GQ⊥x轴于Q，过点M作MF⊥x轴于F，设出点N的横坐标，然后分别表示出NQ、NF的长，通过证△NQG∽△NFM，根据所得比例线段，即可求得此时N点的横坐标；
②当点D、B重合，直线l过点D时，N点的横坐标最小，解法同①．
解答：
解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上，∴把点A坐标代入y=a（x+1）2-5得a=1，
∴抛物线C1的解析式为y=x2+2x-4，
设B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；
（2）①如图
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，
∴点M在DH上，MH=5，
过点G作GE⊥DH，垂足为E，
由△DHG是正三角形，可得EG=
，EH=1，∴ME=4，
设N（x，0），则NH=x-1，
由△MEG∽△MHN，得
，∴
，∴x=
，∴点N的横坐标为
；②当点D移到与点A重合时，如图，
直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；
过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，
设N（x，0），
∵A（2，4），即AH=4，且△AGH为等边三角形，
∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
∴GQ=
HG=2，HQ==2，∴OQ=OH+HQ=2+2
，∴G（
，2），∴NQ=
，NF=x-1，GQ=2，MF=5，∵△NGQ∽△NMF，
∴
，∴
，∴
，当点D移到与点B重合时，如图：
直线l与DG交于点D，即点B，
此时点N的横坐标最小；
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），D（-2，-4），
设N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴
，∴
，∴
，∴点N横坐标的范围为
≤x≤且x≠0．点评：此题是二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质；在解答（2）题时，关键是正确地作图，构造出与所求相关的相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解．
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