题目内容

如图，已知直线l1：y=
2
3
x+
8
3
与直线l2：y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（1）由
2
3
x+
8
3
=0，得x=-4．
∴A点坐标为（-4，0），
由-2x+16=0，
得x=8．
∴B点坐标为（8，0），
∴AB=8-（-4）=12，
由
y=
2
3
x+
8
3
y=-2x+16
，解得
x=5
y=6

∴C点的坐标为（5，6），
∴S△ABC=
1
2
AB•yC=
1
2
×12×6=36．

（2）∵点D在l1上且xD=xB=8，
∴yD=
2
3
×8+
8
3
=8，
∴D点坐标为（8，8），
又∵点E在l2上且yE=yD=8，
∴-2xE+16=8，
∴xE=4，
∴E点坐标为（4，8），
∴DE=8-4=4，EF=8．

（3）①当0≤t＜3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t=0时，为四边形CHFG）．
过C作CM⊥AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB，
∴
BG
BM
=
RG
CM
，即
t
3
=
RG
6
，∴RG=2t，
∵Rt△AFH∽Rt△AMC，
∴S=S△ABC-S△BRG-S△AFH=36-
1
2
×t×2t-
1
2
（8-t）×
2
3
（8-t），
即S=-
4
3
t2+
16
3
t+
44
3
．
②当3≤t＜8时，如图2所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR，由①知，HF=
2
3
（8-t），
∵Rt△AGR∽Rt△AMC，
∴
RG
CM
=
AG
AM
，即
RG
6
=
12-t
9
，∴RG=
2
3
（12-t），
∴S=
1
2
（HF+RG）×FG=
1
2
[
2
3
（8-t）+
2
3
（12-t）]×4，
即S=-
8
3
t+
80
3
；
③当8≤t≤12时，如图3所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为△AGR，
由②知，AG=12-t，RG=
2
3
（12-t），
∴S=
1
2
AG•RG=
1
2
（12-t）×
2
3
（12-t）即S=
1
3
（12-t）2，
∴S=
1
3
t2-8t+48．
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