Question

【题目】如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC,DE⊥AC，垂足为 E.连接 BE

（1）求证：在四边形 ABCD 是平行四边形

（2）若△ABE 是等边三角形，四边形 BCDE 的面积等于 4，求 AE 的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【解析】（1）可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行证明；

（2）利用同底等高说明△CED与△CEB的面积关系，再根据四边形的面积得到△CED的面积，求出边长CD，即可得出结论．

（1）∵AB∥CD，∴∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD=180°．

∵∠ABC=∠ADC，∴∠DAB=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．

∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE=CD，∠BAC=∠ACD=60°．在Rt△CDE中，设CD的长为a，则CE=a，DE=，S△CED=．

因为△CED与△CEB是同底等高的三角形，∴S△CED=S△CEB．又∵S四边形BCDE=S△CED+S△CEB=4，∴S△CED=．即=．

所以a=4．即AE= CD=4．