Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，⊙A的半径为1，若点O在BC上运动（与B，C不重合）设OB=X，△AOC的面积为Y。
（1）求Y与X的函数关系式，指出自变量X的取值范围；
（2）以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，当⊙O与⊙A相切时△AOC的面积。

Answer 1

（1）过点A作AH⊥BC于H
∵∠BAC=90°，AB=AC=  ∴BC=4，AH=2，
∴
即y＝－x＋4（0<x<4）
（2）当点O与点H重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点H不重合时，在Rt△AOH中，
∵圆A的半径为1，圆O的半径为x，
∴①当圆A与圆O外切时，  解得x＝，＝y＝
②当圆A与圆O内切时，  解得x＝，＝y＝

（1）由∠BAC=90°，AB=AC=，根据勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AH⊥BC，
由，即可求得y关于x的函数解析式；
（2）由⊙O与⊙A外切或内切，即可求得圆O的半径，继而求得△AOC的面积。