题目内容
如图,二次函数y=-
x2+mx+n的图象与y轴交于点N,其顶点M在直线y=-
x上运动,O为坐标原点.
(1)当m=-2时,求点N的坐标;
(2)当△MON为直角三角形时,求m、n的值;
(3)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,2),B(-4,-3),C(-2,2),当抛物线y=-
x2+mx+n在对称轴左侧的部分与△ABC的三边有公共点时,求m的取值范围.
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3 |
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(1)当m=-2时,求点N的坐标;
(2)当△MON为直角三角形时,求m、n的值;
(3)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,2),B(-4,-3),C(-2,2),当抛物线y=-
1 |
2 |
(1)∵y=-
(x-m)2+
m2+n,
∴抛物线顶点M坐标为:(m,
m2+n),
∵顶点在直线y=-
x上,
∴
m2+n=-
m,
当m=-2时,n=1,
∴点N的坐标为:(0,1);
(2)若点M在第二象限时,△MON不可能为直角三角形,当点M在坐标原点时,
△MON不存在,若点M在第四象限,当△MON为直角三角形时,显然只有∠OMN=90°,
如图1,过点M在x轴的垂线,垂足为H,
∵∠HOM+∠MON=90°,
∠MON+∠ONM=90°,
∴∠HOM=∠ONM,
∵∠OHM=∠OMN=90°,
∴△OMN∽△MHO,
∴
=
,
∴OM2=MH•ON,
设M(m,-
m),则MH=
m,OM2=
m2,而ON=-n,
∴
m2=
m×(-n),
即n=-
m①,
又
m2+n=-
m②,
由①②解得:
m=
,n=-
;
(3)由(1)可知,y=-
x2+mx-
m2-
m,
当点A(-4,2)在该抛物线上时,
-
×(-4)2-4m-
m2-
m=2,
整理得出:m2+11m+20=0,
解得:m=
,
∵在对称轴的左侧,∴m只能取
,
∵B(-4,-3),C(-2,2),
设直线BC的解析式为y=ax+b,
则
,
解得:
,
∴直线BC的解析式为:y=
x+7(-4≤x≤-2),
代入抛物线解析式得:x2+(5-2m)x+m2+3m+14=0,
令△=0得,(5-2m)2-4(m2+3m+14)=0,
解得:m=-
,
∴
≤m≤-
.
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2 |
1 |
2 |
∴抛物线顶点M坐标为:(m,
1 |
2 |
∵顶点在直线y=-
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2 |
∴
1 |
2 |
3 |
2 |
当m=-2时,n=1,
∴点N的坐标为:(0,1);
(2)若点M在第二象限时,△MON不可能为直角三角形,当点M在坐标原点时,
△MON不存在,若点M在第四象限,当△MON为直角三角形时,显然只有∠OMN=90°,
如图1,过点M在x轴的垂线,垂足为H,
∵∠HOM+∠MON=90°,
∠MON+∠ONM=90°,
∴∠HOM=∠ONM,
∵∠OHM=∠OMN=90°,
∴△OMN∽△MHO,
∴
OM |
MH |
ON |
OM |
∴OM2=MH•ON,
设M(m,-
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2 |
3 |
2 |
13 |
4 |
∴
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4 |
3 |
2 |
即n=-
13 |
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又
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2 |
3 |
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由①②解得:
m=
4 |
3 |
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(3)由(1)可知,y=-
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3 |
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当点A(-4,2)在该抛物线上时,
-
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3 |
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整理得出:m2+11m+20=0,
解得:m=
-11±
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2 |
∵在对称轴的左侧,∴m只能取
-11+
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∵B(-4,-3),C(-2,2),
设直线BC的解析式为y=ax+b,
则
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解得:
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∴直线BC的解析式为:y=
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2 |
代入抛物线解析式得:x2+(5-2m)x+m2+3m+14=0,
令△=0得,(5-2m)2-4(m2+3m+14)=0,
解得:m=-
31 |
32 |
∴
-11+
| ||
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