Question

如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．

（1）证明PA是⊙O的切线；

（2）求点B的坐标；

（3）求直线AB的解析式．

Answer 1

【答案】（1）证明：依题意可知，A（0，2）

∵A（0，2），P（4，2），

∴AP∥x轴 ．

∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，

∴PA是⊙O的切线；

（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC，

又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC．

∴△OBC≌△PEC．

∴OC=PC．

（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）

设OC=PC=x，

则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，

在Rt△PCE中，∵PC²=CE²+PE²，

∴x²=(4－x)²+2²，解得x=，……………………  4分

∴BC=CE=4－=，

∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=．

∴OD===，

由点B在第四象限可知B（，）；

解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC．

又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC，

∴△OBC≌△PEC．

∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）

设OC=PC=x，

则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，

在Rt△PCE中，∵PC²=CE²＋PE²,

∴x²=(4－x)²+2²，解得x=，………………………………  4分

∴BC=CE=4－=，

∵BD∥x轴，

∴∠COB=∠OBD，

又∵∠OBC=∠BDO=90°，

∴△OBC∽△BDO， ∴==，

即==．

∴BD=，OD=．

由点B在第四象限可知B（，）；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，

由A（0，2），B（，），可得；

解得∴直线AB的解析式为y=－2x+2．

【考点解剖】  本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．

【解题思路】（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式．

【解答过程】  略.

【方法规律】  从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.

【关键词】  切线  点的坐标  待定系数法求解析式