题目内容

【题目】如图所示,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MNBC于点M,交AD于点N

(1)求证:CM=CN

(2)若CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,求的值

【答案】(1)详见解析;(2MN=

【解析】试题分析:(1)由折叠的性质可得:∠ANM=CNM,由四边形ABCD是矩形,可得∠ANM=CMN,则可证得∠CMN=CNM,继而可得CM=CN;(2)首先过点NNHBC于点H,由CMN的面积与CDN的面积比为3:1,易得MC=3ND=3HC,然后设DN=x,由勾股定理,可求得MN的长,继而求得答案.

试题解析:

(1)由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM .

∵ 四边形ABCD是矩形,

∴ AD∥BC .

∴∠ANM=∠CMN .

∴∠CMN=∠CNM .

∴ CM=CN.

(2)过点NNHBC于点H,如图所示:

则四边形NHCD是矩形,

HC=DNNH=DC

∵△CMN的面积与CDN的面积比为3:1,

===3,

MC=3ND=3HC

MH=2HC

DN=x,则HC=xMH=2x

CM=3x=CN

RtCDN中,DC==2x

HN=2x

RtMNH中,MN==2x

==2

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