题目内容
【题目】实践探究题
(1)观察下列有规律的数：
，
，
，
，
，
…根据规律可知
①第10个数是________; 
是第________个数．
②计算
________．（直接写出答案即可）
(2)
是不为1的有理数，我们把
称为的差倒数．如：2的差倒数是
，
的差倒数是
．已知
，
是
的差倒数，
是的差倒数，
是的差倒数，…，依此类推，
是
的差倒数，则
________．
(3)高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．
例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2； ②[x]＋[－x]＝0
【答案】（1）①
；17；②
；（2）4；（3）①③
【解析】
（1）①以上分子均为1，分母是序数与序数加1的乘积，据此可得；由规律可知第n个数为
，列方程求解可得；
②
列项相消求解可得．
（2）根据差倒数定义，经过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律答题即可.
（3）根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
解：（1）①∵第1个数
第2个数
第3个数
…
∴第10个数为
；
由上可知第n个数为，
∴=
∴n（n+1）=306，
解得n=17或n=-18（不合题意，舍去），
∴是第17个数，
故答案为：17；
②∵，
∴原式=
.
（2）根据差倒数定义可得：
可知3个数为一循环，
∴2019÷3余数为0，
∴则a2019=a3=4，
故答案为4．
（3）①[-2.1]+[1]=-3+1=-2，故①正确；
②[x]+[-x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[-2.5]=-3，2+（-3）≠0；
③[2.5]+[-2.5]= 2+（-3）=-1，故③正确；
④当x=-0.5时，[x+1]=0，[-x+1]=1，
∴[x+1]+[-x+1]=1，
所以[x+1]+[-x+1]= 2错误．
故答案为：①③．
