Question

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．在图①中，点P是边BC的中点，由S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC得，AB．h₁+AC．h₂=BC．h，可得h₁+h₂=h又因为h₃=0，所以：h₁+h₂+h₃=h．
图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图②～⑤中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）说明图②所得结论为什么是正确的；
（3）说明图⑤所得结论为什么是正确的．

Answer 1

解：（1）②h_l+h₂+h₃=h；③h₁﹣h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂﹣h₃=h．
（2）图②中，h₁+h₂+h₃=h．
连接AP，
则S_△APB+S_△APC=S_△ABC，
∴AB×h₁+AC×h₂=BC×h．
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h．
（3）图⑤中，h₁+h₂﹣h₃=h．
连接PA、PB、PC，（如答图）
则S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC．
∴ AB×h_l+AC×h₂=BC×h+BC×h₃
又AB=AC=BC，
∴h₁+h₂=h+h₃．
∴h₁+h₂﹣h₃=h．