题目内容

【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+ca≠0)的图象过点C01),顶点为Q23),点Dx轴正半轴上,且OD=OC

1)求直线CD的解析式;

2)求抛物线的解析式;

3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:CEQ∽△CDO

4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x+1;(2y=x2+2x+1;(3)证明见解析;(4存在.为.

【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求出直线解析式;

2)利用待定系数法求出抛物线的解析式;

3)关键是证明△CEQ△CDO均为等腰直角三角形;

4)如图所示,作点C关于直线QE的对称点C′,作点C关于x轴的对称点C″,连接C′C″,交OD于点F,交QE于点P,则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,△PCF的周长等于线段C′C″的长度.利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小.如图所示,利用勾股定理求出线段C′C″的长度,即△PCF周长的最小值.

1C01),D10

直线CD的解析式为

2)设抛物线解析式为y=ax22+3

易得y=x22+3=x2+2x+1

3OC=ODOC⊥OD∴△OCD为等腰直角三角形,

对称轴x=2CE交于点MM21

易知△QMC△QME是等腰直角三角形

∴△ CQE也是等腰直角三角形

∴△CEQ∽△CDO

4)存在。

如图作点C关于直线QE的对称点C′,作点C关于x轴的对称点C″,连接C′C″,交OD于点F,交QE于点P,则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称性得:

PC=PC′ CF=C″F

CC′关于直线QE对称

C′45

C″(-10C′C″=

∴△PCF的周长最小值是

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