Question

【题目】综合题
（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OM上一点，点B为OP上一点．请你利用该图形在ON上找一点C，使△COB≌△AOB，请在图①画出图形．参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，在（2）中所得结论是否仍然成立？请你直接作出判断，不必说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①所示，△COB≌△AOB，点C即为所求．

（2）解：如图②，在CG上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF=∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

CG=CD，∠DCF=∠GCF，CF=CF，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF=GF．

∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，且∠EAF=∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= =60°，

∴∠AFC=120°，

∴∠CFD=60°=∠CFG，

∴∠AFG=60°，

又∵∠AFE=∠CFD=60°，

∴∠AFE=∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

∠AFE=∠AFG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF=GF，

∴DF=EF；

（3）解：DF=EF 仍然成立．

证明：如图③，在CG上截取AG=AE，

同（2）可得△EAF≌△GAF（SAS），

∴FE=FG，∠EFA=∠GFA．

又由题可知，∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）=60°，

∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°，

∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC，

∴∠CFG=∠CFD=60°，

同（2）可得△FDC≌△FGC（ASA），

∴FD=FG，

∴FE=FD．

【解析】（1）以O为圆心，OA为半径画弧，交ON于点C，连接BC，利用边角边即可知道△COB≌△AOB。
（2）根据题意添加辅助线，在CG上截取CG=CD，根据角平分线的定义证出∠DCF=∠GCF，从而可证得△CFG≌△CFD，得出DF=GF。要证EF=FD，转化为证EF=GF，因此需证△AFG≌△AFE，根据图形及已知还需差一个条件。根据已知∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，易证得∠AFC=120°，即可得到∠AFE=∠AFG=60°，继而可证明△AFG≌△AFE，即可证得结论。
（3）通过分析，结论仍然成立，添加辅助线的方法和证明方法同（2）一样。
【考点精析】掌握角的平分线和三角形的内角和外角是解答本题的根本，需要知道从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．