题目内容
【题目】平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y1= (x>0)与y2=﹣ (x<0)的图象上,A、B的横坐标分别为a、b.
(1)若AB∥x轴,求△OAB的面积;
(2)若△OAB是以AB为底边的等腰三角形,且a+b≠0,求ab的值;
(3)作边长为2的正方形ACDE,使AC∥x轴,点D在点A的左上方,那么,对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1= (x>0)的图象都有交点,请说明理由.
【答案】
(1)
解:由题意知,点A(a, ),B(b,﹣ ),
∵AB∥x轴,
∴ ,
∴a=﹣b;
∴AB=a﹣b=2a,
∴S△OAB= 2a =3
(2)
解:由(1)知,点A(a, ),B(b,﹣ ),
∴OA2=a2+( )2,OB2=b2+(﹣ )2,
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形,
∴OA=OB,
∴OA2=OB2,
∴a2+( )2=b2+(﹣ )2,
∴a2﹣b2=( )2﹣( )2,
∴(a+b)(a﹣b)=( + )( ﹣ )= ,
∵a>0,b<0,
∴ab<0,a﹣b≠0,
∵a+b≠0,
∴1= ,
∴ab=3(舍)或ab=﹣3,
即:ab的值为﹣3;
(3)
解:对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1= (x>0)的图象都有交点.
理由:如图,
∵a≥3,AC=2,
∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴,
∴直线CD一定与函数y1= (x>0)的图象有交点,
∵四边形ACDE是边长为2的正方形,且点D在点A(a, )的左上方,
∴C(a﹣2, ),
∴D(a﹣2, +2),
设直线CD与函数y1= (x>0)相交于点F,
∴F(a﹣2, ),
∴FC= ﹣ = ,
∴2﹣FC=2﹣ = ,
∵a≥3,
∴a﹣2>0,a﹣3≥0,
∴ ≥0,
∴2﹣FC≥0,
∴FC≤2,
∴点F在线段CD上,
即:对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1= (x>0)的图象都有交点.
【解析】(1)先判断出a=﹣b,即可得出AB=2a,再利用三角形的面积公式即可得出结论;(2)利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论;(3)先判断出直线CD和函数y1= (x>0)必有交点,根据点A的坐标确定出点C,F的坐标,进而得出FC,再判断FC与2的大小即可.
【考点精析】通过灵活运用反比例函数的性质和等腰三角形的判定,掌握性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小; 当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大;如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等即可以解答此题.