题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC-CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/秒，点Q的速度是2cm/秒．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）如图1（1），当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出t值，如图1（2）当∠APQ=90°时，就有△APQ∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出其t值；
（2）如图2，当△BPQ∽△BAC时根据相似三角形的性质就有
=
，再根据已知条件就可以求出t的值．
（2）如图2，当△BPQ∽△BAC时根据相似三角形的性质就有
| BP |
| AB |
| BQ |
| BC |
解答：解：（1）如图1（1），当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，
∴
=
．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=
=10．
BP=t，AQ=2t，
∴PA=10-t，
∴
=
，
∴t=
，
如图1（2），当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，
∴
=
，
∴
=
，
t=
．
综上所述，t=
或
时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）如图2，当△BPQ∽△BAC时，
=
．
∵BQ=14-2t，BP=t，
∴
=
，
t=
，
∴t=
时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
∴
| AQ |
| AC |
| AP |
| AB |
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=
| 36+64 |
BP=t，AQ=2t，
∴PA=10-t，
∴
| 2t |
| 8 |
| 10-t |
| 10 |
∴t=
| 20 |
| 7 |
如图1（2），当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，
∴
| AQ |
| AB |
| AP |
| AC |
∴
| 2t |
| 10 |
| 10-t |
| 8 |
t=
| 50 |
| 13 |
综上所述，t=
| 20 |
| 7 |
| 50 |
| 13 |
（2）如图2，当△BPQ∽△BAC时，
| BP |
| AB |
| BQ |
| BC |
∵BQ=14-2t，BP=t，
∴
| t |
| 10 |
| 14-2t |
| 6 |
t=
| 70 |
| 13 |
∴t=
| 70 |
| 13 |
点评：本题是一道关于懂点问题的相似三角形的综合试题，考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时要求出时间t而求证三角形相似是关键．
练习册系列答案
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