题目内容

【题目】已知直线y=kx+b(k≠0)过点(1,2)

(1)填空:b=   (用含k代数式表示);

(2)将此直线向下平移2个单位,设平移后的直线交x于点A,交y于点B,x轴上另有点C(1+k,0),使得△ABC的面积为2,求k值;

(3)当1≤x≤3,函数值y总大于零,求k取值范围.

【答案】(1)2﹣k;(2)k=±2;(3)当k>0或﹣1<k<0时,函数值y总大于0.

【解析】(1)∵直线y=kx+b(k≠0)过点(1,2),

∴k+b=2,

∴b=2﹣k.

故答案为2﹣k;

(2)由(1)可得y=kx+2﹣k,

向下平移2个单位所得直线的解析式为y=kx﹣k,

令x=0,得y=﹣k,令y=0,得x=1,

∴A(1,0),B(0,﹣k),

∵C(1+k,0),

∴AC=|1+k﹣1|=|k|,

∴S△ABC=AC|yB|=|k||﹣k|=k2

k2=2,解得k=±2;

(3)依题意,当自变量x在1≤x≤3变化时,函数值y的最小值大于0.

分两种情况:

ⅰ)当k>0时,y随x增大而增大,

∴当x=1时,y有最小值,最小值为k+2﹣k=2>0,

∴当 k>0时,函数值总大于0;

ⅱ)当k<0时,y随x增大而减小,

∴当x=3时,y有最小值,最小值为3k+2﹣k=2k+2,

由2k+2>0得k>﹣1,

∴﹣1<k<0.

综上,当k>0或﹣1<k<0时,函数值y总大于0.

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