题目内容
【题目】数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第
格放粒米，第
格放粒米，第
格放
粒米，然后是
粒、
粒、
粒······一只到第
格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求
是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设
,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要
粒米.那么
到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个
位数:
，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座
层塔共挂了
盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?
计算: 
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：
，其中第一项是
，接下来的两项是
，再接下来的三项是
，以此类推，求满足如下条件的所有正整数
，且这一数列前
项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
【答案】（1）3；（2）
；（3）
【解析】
设塔的顶层共有
盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.
参照题目中的解题方法进行计算即可.
由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值
设塔的顶层共有盏灯，由题意得
.
解得
，
顶层共有
盏灯.
设
,
,
即：
.
即
由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n1第n项，
根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为
所有项数的和为
由题意可知：
为2的整数幂，只需将2n消去即可，
则①1+2+(2n)=0,解得：n=1,总共有
，不满足N>10，
②1+2+4+(2n)=0,解得：n=5,总共有
满足
，
③1+2+4+8+(2n)=0,解得：n=13,总共有
满足，
④1+2+4+8+16+(2n)=0,解得：n=29,总共有
不满足
，
∴
