题目内容
【题目】如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5
，且
，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=－
+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（﹣4，0）或（12，0）
【解析】
试题由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠BCE=90°，∵∠BAD=90°，∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，∴△ABD∽△ODE；
（2）证明：∵
，∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，∴
，∴DA=6x，∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得
，即
，解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，∴抛物线解析式为y=﹣
+3，
当x=10时，代入可得y=
，∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=
，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF=
∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点，∴MD=MB，∴MF为线段BD的垂直平分线，∴MF⊥BD；
（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=﹣+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，
令y=0，可得0=﹣+3，解得x=﹣4或x=12，∴M（﹣4，0），N（12，0），
过D作DG⊥BC于点G，如图所示，
则DG=DM=DN=8，∴点M、N即为满足条件的Q点，
∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0
