题目内容
如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），⊙M经过O、A两点，交x轴于点N．
（1）如图1，若ON=3，设△AON的内心为I，过I作IB⊥AN于B，则AB-BN的值为
（2）如图2，若∠NAO=30°，在E在⊙M上，且△AOE为等边三角形，P为劣弧AE上一点，且∠EOP=45°，求OP-AP的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，将一块含30°角的三角板的60°角的顶点置于N点，角的两边分别交AE、AO与G、H．当此三角板任意旋转时，△AGH的周长是否变化？若变化，请说明理由，若不变，请证明并求出值．
（1）如图1，若ON=3，设△AON的内心为I，过I作IB⊥AN于B，则AB-BN的值为
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．（2）如图2，若∠NAO=30°，在E在⊙M上，且△AOE为等边三角形，P为劣弧AE上一点，且∠EOP=45°，求OP-AP的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，将一块含30°角的三角板的60°角的顶点置于N点，角的两边分别交AE、AO与G、H．当此三角板任意旋转时，△AGH的周长是否变化？若变化，请说明理由，若不变，请证明并求出值．
分析：（1）作IC⊥OA于C，ID⊥ON于D，先根据勾股定理计算出AN=5，根据内心的性质和切线长定理可得到OC=OD=r，AC=AB=4-r，NB=ND=3-r，利用AN+NB=4-r+3-r=5可计算出r=1，则AB=3，NB=2，于是得到AB-BN=1；
（2）在OP上截取OF=AP，作直径EQ，连结PC，根据等边三角形的性质得AE=OE，∠OAE=60°，根据“SAS”可判断△AEP≌△OEF，得到EP=EF；根据圆周角定理得到∠EPO=∠OAE=60°，可判断△EFP为等边三角形，得PF=PE，所以OP-AP=OP-OF=PF=PE，在Rt△PNO中利用含30度的直角三角形三边的关系可求出直径AN=
，再根据圆周角定理得到∠PQE=∠EOP=45°，∠EPQ=90°，得到△PEQ为等腰直角三角形，于是可得到PE=
EQ=
，所以OP-AP=
；
（3）延长AE到k使EK=OH，连结NE，先利用“SAS”证明△NOH≌△NEK，得到NH=NK，∠HNO=∠KNE；根据圆内接四边形的性质得∠ENO+∠EAO=180°，则∠ENO=120°，由∠GNH=60°得到∠ENG+∠ONH=60°，则∠GNK=60°，于是可根据“SAS”判断△GNK≌△GNH，则GK=GH，然后计算△AGH的周长，得到△AGH的周长AG+GH+AH，再进行等相等代换得到△AGH的周长=2AO．
（2）在OP上截取OF=AP，作直径EQ，连结PC，根据等边三角形的性质得AE=OE，∠OAE=60°，根据“SAS”可判断△AEP≌△OEF，得到EP=EF；根据圆周角定理得到∠EPO=∠OAE=60°，可判断△EFP为等边三角形，得PF=PE，所以OP-AP=OP-OF=PF=PE，在Rt△PNO中利用含30度的直角三角形三边的关系可求出直径AN=
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（3）延长AE到k使EK=OH，连结NE，先利用“SAS”证明△NOH≌△NEK，得到NH=NK，∠HNO=∠KNE；根据圆内接四边形的性质得∠ENO+∠EAO=180°，则∠ENO=120°，由∠GNH=60°得到∠ENG+∠ONH=60°，则∠GNK=60°，于是可根据“SAS”判断△GNK≌△GNH，则GK=GH，然后计算△AGH的周长，得到△AGH的周长AG+GH+AH，再进行等相等代换得到△AGH的周长=2AO．
解答：解
：（1）作IC⊥OA于C，ID⊥ON于D，如图1，
∵点A的坐标为（0，4），
∴AO=4，
而ON=3，
∴AN=
=5，
∵△AON的内心为I，设⊙I的半径为r，
∴IB=IC=ID=r，且B点、C点和D点为⊙I与△AON各边相切的切点，
∴OC=OD=r，AC=AB=4-r，NB=ND=3-r，
∴AN+NB=4-r+3-r=5，解得r=1，
∴AB=4-1=3，NB=3-1=2，
∴AB-BN=3-2=1．
故答案为1；
（2）在OP上截取OF=AP，作直径EQ，连结PC，如图2，
∵△AOE为等边三角形，
∴AE=OE，∠OAE=60°，
在△AEP和△OEF中
，
∴△AEP≌△OEF（SAS），
∴EP=EF，
而∠EPO=∠OAE=60°，
∴△EFP为等边三角形，
∴PF=PE，
∴OP-AP=OP-OF=PF=PE，
在Rt△PNO中，OA=4，∠NAO=30°，
∴ON=
OA=
，
∴AN=2ON=
，
∵∠AON=90°，
∴AN为⊙M的直径，
∵∠PQE=∠EOP=45°，
而EQ为⊙M的直径，
∴∠EPQ=90°，
∴△PEQ为等腰直角三角形，
∴PE=
EQ=
×
=
，
∴OP-AP=
；
（3）△AGH的周长不变．理由如下：
延长AE到k使EK=OH，连结NE，如图3，
∵AN为⊙M的直径，
∵∠AEN=90°，
∵∠EAO=60°，∠NAO=30°，
∴NE=NO=
AN，AO=AE=
ON，
在△NOH和△NEK中，
，
∴△NOH≌△NEK（SAS），
∴NH=NK，∠HNO=∠KNE，
∵∠ENO+∠EAO=180°，
∴∠ENO=180°-60°=120°，
而∠GNH=60°，
∴∠ENG+∠ONH=60°，
∴∠ENG+∠KNE=60°，即∠GNK=60°，
在△GNK和△GNH中，
，
∴△GNK≌△GNH（SAS），
∴GK=GH，
∴△AGH的周长=AG+GH+AH=AG+GK+AH=AK+AH=AE+EK+AO-OH=2AO=2×4=8．
：（1）作IC⊥OA于C，ID⊥ON于D，如图1，∵点A的坐标为（0，4），
∴AO=4，
而ON=3，
∴AN=
| OA2+ON2 |
∵△AON的内心为I，设⊙I的半径为r，
∴IB=IC=ID=r，且B点、C点和D点为⊙I与△AON各边相切的切点，
∴OC=OD=r，AC=AB=4-r，NB=ND=3-r，
∴AN+NB=4-r+3-r=5，解得r=1，
∴AB=4-1=3，NB=3-1=2，
∴AB-BN=3-2=1．
故答案为1；
（2）在OP上截取OF=AP，作直径EQ，连结PC，如图2，
∵△AOE为等边三角形，
∴AE=OE，∠OAE=60°，
在△AEP和△OEF中
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∴△AEP≌△OEF（SAS），
∴EP=EF，
而∠EPO=∠OAE=60°，
∴△EFP为等边三角形，
∴PF=PE，
∴OP-AP=OP-OF=PF=PE，
在Rt△PNO中，OA=4，∠NAO=30°，
∴ON=
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∴AN=2ON=
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∵∠AON=90°，
∴AN为⊙M的直径，
∵∠PQE=∠EOP=45°，
而EQ为⊙M的直径，
∴∠EPQ=90°，
∴△PEQ为等腰直角三角形，
∴PE=
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∴OP-AP=
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（3）△AGH的周长不变．理由如下：
延长AE到k使EK=OH，连结NE，如图3，
∵AN为⊙M的直径，
∵∠AEN=90°，
∵∠EAO=60°，∠NAO=30°，
∴NE=NO=
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在△NOH和△NEK中，
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∴△NOH≌△NEK（SAS），
∴NH=NK，∠HNO=∠KNE，
∵∠ENO+∠EAO=180°，
∴∠ENO=180°-60°=120°，
而∠GNH=60°，
∴∠ENG+∠ONH=60°，
∴∠ENG+∠KNE=60°，即∠GNK=60°，
在△GNK和△GNH中，
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∴△GNK≌△GNH（SAS），
∴GK=GH，
∴△AGH的周长=AG+GH+AH=AG+GK+AH=AK+AH=AE+EK+AO-OH=2AO=2×4=8．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的内心的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质；正确使用三角形全等解决线段相等和角相等的问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．
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