Question

已知：抛物线y=x²+2x-3与x轴的两个交点分别为A、B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点为D，直线y=kx+b经过点A、C；
（1）求点D的坐标和直线AC的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使得△ACP的面积与△ACD的面积相等的点P的坐标．

Answer 1

（1）由抛物线解析式y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
得D（-1，-4）；（1分）
点A、C的坐标分别是A（-3，0），C（0，-3），
∵直线y=kx+b经过A、C两点，
∴

b=-3 -3k-3=0

，
∴

b=-3 k=-1

；
∴直线AC的解析式为y=-x-3；（2分）

（2）①过点D作与直线y=-x-3平行的直线，交抛物线于点P；
则S_△ACP=S_△ACD；
设平移后的直线的解析式为y=-x+t，
∵点D的坐标为（-1，-4）；
∴t=-5；
∴P（m，-m-5），
∴-m-5=m²+2m-3，
解得m=-1（舍去）或m=-2；
∴P（-2，-3）；（4分）
②直线DP：y=-x-5与y轴的交点坐标为（0，-5），
则直线DP关于直线y=-x-3对称的直线l的解析式为y=-x-1，l交抛物线于P′，设P′（m′，-m′-1）；
由于点P’在抛物线y=x²+2x-3上，
∴-m′-1=m′²+2m′-3；
解得m′=

-3+ 17

2

或m′=

-3- 17

2

；（5分）
∴P′（

-3+ 17

2

，

1- 17

2

）或P′（

-3- 17

2

，

1+ 17

2

）；（7分）
∴所求点P的坐标分别是（-2，-3），（

-3+ 17

2

，

1- 17

2

），（

-3- 17

2

，

1+ 17

2

）．