Question

如图，抛物线y=ax²-3x+c交x轴正方向于A、B两点，交y轴正方向于C点，过A、B、C三点作⊙D．若⊙D与y轴相切．
（1）求a、c满足的关系式；
（2）设∠ACB=a，求tana；
（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系．

Answer 1

分析：（1）由题意，抛物线y=ax²-3x+c交x轴正方向于A、B两点，即A、B的横坐标是方程ax²-3x+c=0的两根，再由圆的切割线定理，易求a，c的关系；
（2）作辅助线，连接PD，交x轴于E，连接AD、BD，根据几何关系求出AE，DE的关系，从而求出tana的值；
（3）连接PA，求出P点坐标，在Rt△PAE中，求出β的正切值，从而判断直线PA与⊙D的位置关系．

解答：解：（1）由题意，抛物线y=ax²-3x+c交x轴正方向于A、B两点，
∴A、B的横坐标是方程ax²-3x+c=0的两根，
设为x₁、x₂（x₂＞x₁），C的纵坐标是c，
又∵y轴与⊙D相切，
∴OA•OB=OC²．
∴x₁•x₂=c²
又由方程ax²-3x+c=0，知x₁•x₂=

c

a

∴c²=

c

a

，即ac=1；

（2）连接PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴，连接AD、BD，
∴AE=

1

2

AB，∠ACB=

1

2

∠ADB=∠ADE=a，
∵a＞0，x₂＞x₁，
∴AB=x₂-x₁=

5

a

，
∴AE=

5

2a

，
又ED=OC=c，
∴tana=

AE

DE

=

5

2

；

（3）设∠PAB=β，
∵P点坐标为（

3

2a

，-

5

4a

）且a＞0，
∴在Rt△PAE中，PE=

5

4a

，
∴tanβ=

PE

AE

=

5

2

，
∴tanβ=tanα，
∴β=α，
∴∠PAE=∠ADE，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠PAE+∠DAE=90°，
即∠PAD=90°，
∴PA和⊙D相切．

点评：此题考查了二次函数的基本性质和圆与直线的位置关系，把函数与方程联系起来，把圆与抛物线联系起来，主要运用圆的切割线定理，直角三角形的勾股定理，用的知识点多较为复杂．