题目内容
在平面之间坐标系中,一次函数y=--
x+2的图象与x轴y轴分别相交于A,B两点,在第一象限内是否存在点P,使得以点P,O,B为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请写出所以符合条件的点P的坐标.
1 |
2 |
在y=-
x+2中,令x=0,解得:y=2,则B的坐标是(0,2);
在y=--
x+2中令y=0,解得:x=4,则A的坐标是(4,0).
当O是直角顶点时,P一定在x轴上,与△AOB重合,不符合题意;
当B是直角顶点时,当△OPB的边OB与△AOB的边BO是对应边时,即△AOB∽△PBO时,P的坐标是(4,2);
当△AOB∽△OBP时,
=
,即
=
,解得:BP=1,则P的坐标是(1,2);
当P是直角顶点,当△AOB∽△OPB时,OP是直角△AOB斜边AB上的高,如图1,
则AB=
=
=2
,
OB2=PB•AB,则BP=
=
=
,
∴AP=AB-BP=2
-
=
,
∴OP=
=
,
过P作PC⊥x轴于点C.
则△PCO∽△AOB,
∴
=
=
=
=
,
∴OC=
OB=
,PC=
OA=
,则P的坐标是(
,
);
当△AOB∽△BPO时,如图2,则
=
,即
=
,解得:OP=
,
过P作PD⊥x轴,则△OPD∽△ABO,
∴
=
=
=
=
,
则PD=
OB=0.4,OD=
OA=0.8,点P的坐标是(2,1).
故P的坐标是:(4,2)或(1,2)或(
,
)或(0.8,0.4).
1 |
2 |
在y=--
1 |
2 |
当O是直角顶点时,P一定在x轴上,与△AOB重合,不符合题意;
当B是直角顶点时,当△OPB的边OB与△AOB的边BO是对应边时,即△AOB∽△PBO时,P的坐标是(4,2);
当△AOB∽△OBP时,
OA |
OB |
OB |
BP |
4 |
2 |
2 |
BP |
当P是直角顶点,当△AOB∽△OPB时,OP是直角△AOB斜边AB上的高,如图1,
则AB=
OA2+OB2 |
22+42 |
5 |
OB2=PB•AB,则BP=
OB2 |
AB |
4 | ||
2
|
2
| ||
5 |
∴AP=AB-BP=2
5 |
2
| ||
5 |
8
| ||
5 |
∴OP=
AP•PB |
4
| ||
5 |
过P作PC⊥x轴于点C.
则△PCO∽△AOB,
∴
OC |
OB |
PC |
OA |
OP |
AB |
| ||||
2
|
2 |
5 |
∴OC=
2 |
5 |
4 |
5 |
2 |
5 |
8 |
5 |
4 |
5 |
8 |
5 |
当△AOB∽△BPO时,如图2,则
OP |
OB |
OB |
AB |
OP |
2 |
2 | ||
2
|
2
| ||
5 |
过P作PD⊥x轴,则△OPD∽△ABO,
∴
PD |
OB |
OD |
OA |
OP |
AB |
| ||||
2
|
1 |
5 |
则PD=
1 |
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故P的坐标是:(4,2)或(1,2)或(
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