Question

（本题满分12分）
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.

（1）若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．
（2）若ABBD＝AC，求∠B︰∠C 的比值

Answer 1

（1）证明略
（2）2:1解析:
（1）（△ABC证明1分，△ABD和△ADC的证明各3分，本小题共7分）
等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC （只写出没有任何证明，1个给1分）
证明：∵AC=BC
∴△ABC是等腰三角形--------------1分
∴∠B=∠BAC--------------2分
∵∠B︰∠C=2︰1
∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°--------------4分
∵∠BAD=∠DAC=∠BAC=36°
∴∠B=∠ADB=72°, ∠DAC=∠C=36°--------------6分
∴△ABD和△ADC是等腰三角形--------------7分
（2）方法1：在AC上截取AE=AB,连接DE-------------1分

又∠BAD=∠DAE，AD＝AD
∴△ABD≌△ADE-------------2分
∴∠AED=∠B ， BD＝DE
∵AB＋BD＝AC
∴BD＝EC
∴DE＝EC -------------4分
∴∠EDC=∠C
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
即∠B︰∠C=2︰1--------------5分
方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE

证明△ADE≌△ADC
再类似证明得到∠B=2∠AED=2∠C
利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将 AC－AB或AB＋BD转化成一条线段