题目内容

【题目】定义:在三角形中,若有两条中线互相垂直,则称该三角形为中垂三角形.

1)如图(1),是中垂三角形,分别是边上的中线,且于点,若,求证:是等腰三角形.

         

2)如图(2),在中垂三角形中,分别是边上的中线,且于点,猜想之间的数量关系,并加以证明.

3)如图(3),四边形是菱形,对角线交于点,点分别是的中点,连接并延长,交于点

①求证:是中垂三角形;

②若,请直接写出的值.

【答案】1)见解析;(2.证明见解析;(3)①见解析;②40.

【解析】

1)连接DE,根据三角形中位线定理可得,继而,由等角对等边可得可得根据全等三角形的判定方法可证得,进而可得,由题意可得,最后由等边对等角即可证得结论;

2)如图,连接,由中位线定理可得,再列式由勾股定理、等量代换即可求证;

3)①先证得MN是△AOD的中位线,再根据菱形的性质可得:CMBNADBCADBC,继而可得,继而即可求证结论;

②根据菱形的性质可得:BCAB,再由题(2)的结论可得, 代入数值即可求解.

1)证明:∵.

连接,由题意可得的中位线,

.

又∵

是等腰三角形.

2.

证明:如图,连接

分别是边上的中线,

.

3)①证明:如图,连接.

∵点分别是的中点,

的中位线,

,且.

∵四边形是菱形,

,且

从而易得

的中线,

是中垂三角形.

40.

由(2)易得.

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