Question

已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直接写出直线BC的函数表达式；
（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF
以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.
求：①s与t之间的函数关系式； ②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．
（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、
N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）y=x²－2x－3（2）直线BC的函数表达式为y=x－3（3）① ②当t =2秒时，S有最大值，最大值为（4）存在。M ₁（－，0）M₂（，0），M₃（，0），M₄（，0）

解：（1）∵ A（－1，0）, ，∴C（0，－3）。
∵抛物线经过A（－1，0）,C（0，，3），
∴，解得。
∴抛物线的函数表达式y=x²－2x－3。
（2）直线BC的函数表达式为y=x－3。
（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，－2），
根据题意得：－2=m－3，∴m=1。
①当0＜t≤1时，S₁=2t；
当1＜t≤2时，如图，

O₁（t，0），D₁（t，－2），
G（t，t－3），H（1，－2），
∴GD₁=t－1，HD₁= t－1。
∴S= 
。
∴s与t之间的函数关系式为

②在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。
（4）存在。M ₁（－，0）M₂（，0），M₃（，0），M₄（，0）。
（1）求出点C的坐标，即可根据A，C的坐标用待定系数法求出抛物线的函数表达式。
（2）求出点B的坐标（3，0），即可由待定系数法求出直线BC的函数表达式。
（3）①分0＜t≤1和1＜t≤2讨论即可。
②由于在0＜t≤2上随t的增大而增大，从而在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。
（4）由点P（1，k）在直线BC上，可得k=－2。∴P（1，－2）。

则过点P且平行于x轴的直线N₁N₂和在x轴上方与x轴的距离为2的直线N₃N₄，与y=x²－2x－3的交点N₁、N₂、 N₃、N₄的坐标分别为N₁（，－2），N₂（，－2）， N₃（， 2），N₄（， 2）。
则M₁的横坐标为－PN₁加点A的横坐标：－；
M₂的横坐标为PN₂加点A的横坐标：；
M₃的横坐标为N₃的纵坐标加N₃的横坐标：；
M₄的横坐标为N₄的纵坐标加N₄的的横坐标：。
综上所述，M ₁（－，0）M₂（，0），M₃（，0），M₄（，0）。