Question

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时，
MP⊥AB，∵∠A=60°，∴AP=4，∴。（2分）

（2）∵AP=，∴BP=
又∵∠B=30°，∠PMB=600°，∴∠BPM=90°
tan∠B=
∴，即等边△PMN的边长为.（4分）
（3）①当时，如图AP=，∴

∴，∴，
∴.
过F作FQ⊥0B于Q，则QN=4，∴EF=OQ=.
等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积，设为S_1，
∴
∵＞0，∴S₁随t的增大而增大，
∴t=1时，，∴S₁的最大值为.（7分）
②当＜t＜2时，如图

在△EGK中，GE=，∴EK=，
∴S_△GEK=.
∴等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积与△EGK的面积差，设为S₂，
∴.
∵，对称轴为，
∴时，的最大值为.（9分）
当时，。
综上可知：当时，S的最大值为.（10分）
（4）过R作RH⊥OB于H，RH=，HN=4，

OH=，OD=12，DH=，
①OR=OD=12时，，
∴，，∴＞2，不合题意舍去。
②DR=OD=12时，，
∴，∴＞2，或＜0，都不合题意舍去。
③OR=DR时，H为CD中点，OH=6，∴，∴。
综上所述，时，△ODR是等腰三角形。（12分）

（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；
（3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；
（4）根据当D为顶点，OD=OR₁=6时，当R₂为顶点，OR₂=DR₂时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可