题目内容

如图①,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作正方形OABC,点D是x轴正半轴上一动点(OD>1),连接BD,以BD为边在第一象限内作正方形DBFE,设M为正方形DBFE的中心,直线MA交y轴于点N.如果定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形.
(1)试找出图1中的一个损矩形;
(2)试说明(1)中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上;
(3)随着点D位置的变化,点N的位置是否会发生变化?若没有发生变化,求出点N的坐标;若发生变化,请说明理由;
(4)在图②中,过点M作MG⊥y轴于点G,连接DN,若四边形DMGN为损矩形,求D点坐标.
(1)从图中我们可以发现四边形ADMB就是一个损矩形.
∵点M是正方形对角线的交点,
∴∠BMD=90°,
∵∠BAD=90°,
∴四边形ADMB就是一个损矩形.

(2)取BD中点H,连接MH,AH.
∵四边形OABC,BDEF是正方形,
∴△ABD,△BDM都是直角三角形,
∴HA=
1
2
BD,HM=
1
2
BD,
∴HA=HB=HM=HD=
1
2
BD,
∴损矩形ABMD一定有外接圆.

(3)∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H,
∴∠MAD=∠MBD,
∵四边形BDEF是正方形,
∴∠MBD=45°,
∴∠MAD=45°,
∴∠OAN=45°,
∵OA=1,
∴ON=1,
∴N点的坐标为(0,-1).

(4)延长AB交MG于点P,过点M作MQ⊥x轴于点Q,
设点MG=x,则四边形APMQ为正方形,
∴PM=AQ=x-1,
∴OG=MQ=x-1,
∵△MBP≌△MDQ,
∴DQ=BP=CG=x-2,
∴MN2=2x2
ND2=(2x-2)2+12
MD2=(x-1)2+(x-2)2
∵四边形DMGN为损矩形,
∴2x2=(2x-2)2+12+(x-1)2+(x-2)2
∴2x2-7x+5=0,
∴x=2.5或x=1(舍去),
∴OD=3,
∴D点坐标为(3,0).
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