Question

已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD²=FB•FC．

Answer 1

证明：连接AF，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAE=∠FDE，
∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，
∴∠FAB=∠C，
∵∠AFB是公共角，
∴△AFB∽△CFA，
∴，
∴FA²=FB•FC，
即FD²=FB•FC．
分析：首先连接AF，可证得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的对应边成比例证得FA²=FB•FC，则可得FD²=FB•FC．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．