题目内容
如图,抛物线y=-
x2-
mx+
m2(m>0)与x轴相交于A,B两点,点
H是抛物线的顶点,以AB为直径作圆G交y轴于E,F两点,EF=4
.
(1)用含m的代数式表示圆G的半径rG的长;
(2)连接AH,求线段AH的长;
(3)点P是抛物线对称轴正半轴上的一点,且满足以P点为圆心的圆P与直线AH和圆G都相切,求点P的坐标.
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![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201202/8/7adbd029.png)
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(1)用含m的代数式表示圆G的半径rG的长;
(2)连接AH,求线段AH的长;
(3)点P是抛物线对称轴正半轴上的一点,且满足以P点为圆心的圆P与直线AH和圆G都相切,求点P的坐标.
分析:(1)当y=0时,求出x的值就是点A、点B的横坐标,就可以求出AB的长度,就是⊙G的直径,从而可以表示出它的半径.
(2)由第一问的半径就可以求出G的坐标,从而求出GO的长度,由EF=4
.由垂径定理求出OE的长度,连接GE,由勾股定理建立等量关系求出m的值,从而求出H的坐标,求出GH的长度,从而由勾股定理求出AH的长度.
(3)可以设出P点的坐标为(-1,k),运用三角函数值表示出⊙P的半径,从外切于内切两种不同的情况求出点P的坐标.
(2)由第一问的半径就可以求出G的坐标,从而求出GO的长度,由EF=4
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(3)可以设出P点的坐标为(-1,k),运用三角函数值表示出⊙P的半径,从外切于内切两种不同的情况求出点P的坐标.
解答:解:(1)当y=0时,
-
x2-
mx+
m2=0,
∴x2+mx-2m2=0,
解得:x1=-2m,x2=m.
∵m>0,
∴A(-2m,0),B(m,0),
∴AB=3m,
∴⊙G的半径为
m;
(2)∵⊙G的半径为
m,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201202/52/04a30ccc.png)
∴G(-
,0).
∵x轴⊥EF,AB是直径,且EF=4
,
∴EO=
=2
,连接GE,在Rt△GEO中,由勾股定理,得
(
)2 = (
m)2+(2
)2,
解得:m=±2.
∵m>0,
∴m=2,
∴y=-
x2-
x+
,⊙G的半径=3,
∴y=-
(x+1)2+4.
∴H(-1,4),
∴GH=4,
∵AG=3,由勾股定理,得
AH=5;
(3)设⊙P的半径为r,P点的坐标为(-1,k).![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201202/52/6c36bc77.png)
由题意可知,当k>4,不符合题意,所以0<k<4.
∵⊙P与直线AH相切,过点P作PM⊥AH于点M,
∴PM=r,HP=4-k,r=HPsin∠AHG=
.
①当⊙P与⊙G内切时,
∴3-r=k,
∴3-
=k,解得k=
,
∴P(-1,
).
②当⊙P与⊙G外切,
∴3+r=k,
∴3+
=k,解得:k=
.
所以满足条件的P点有:P(-1,
),P(-1,
).
-
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∴x2+mx-2m2=0,
解得:x1=-2m,x2=m.
∵m>0,
∴A(-2m,0),B(m,0),
∴AB=3m,
∴⊙G的半径为
3 |
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(2)∵⊙G的半径为
3 |
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![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201202/52/04a30ccc.png)
∴G(-
m |
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∵x轴⊥EF,AB是直径,且EF=4
2 |
∴EO=
EF |
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(
3m |
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解得:m=±2.
∵m>0,
∴m=2,
∴y=-
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32 |
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∴y=-
4 |
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∴H(-1,4),
∴GH=4,
∵AG=3,由勾股定理,得
AH=5;
(3)设⊙P的半径为r,P点的坐标为(-1,k).
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201202/52/6c36bc77.png)
由题意可知,当k>4,不符合题意,所以0<k<4.
∵⊙P与直线AH相切,过点P作PM⊥AH于点M,
∴PM=r,HP=4-k,r=HPsin∠AHG=
3(4-k) |
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①当⊙P与⊙G内切时,
∴3-r=k,
∴3-
3(4-k) |
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3 |
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∴P(-1,
3 |
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②当⊙P与⊙G外切,
∴3+r=k,
∴3+
3(4-k) |
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所以满足条件的P点有:P(-1,
3 |
2 |
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点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了圆的半径,垂径定理的运用,勾股定理的运用,圆与圆相切直线与圆相切的性质.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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A、-1<x<3 | B、3<x<-1 | C、x>-1或x<3 | D、x<-1或x>3 |