Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B，C两点，交y轴于点D，E两点．
（1）求点B，C，D的坐标；
（2）一个二次函数图象经过B，C，D三点，求这个二次函数解析式；
（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图象于点F，当△CPF中一个内角的正切值为

1

2

时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由A的坐标得到OA的长，再由AD的长，利用AD-OA求出OD的长，确定出D的坐标，连接AC，由x轴于y轴垂直，得到三角形AOC为直角三角形，由AC及OA的长，利用勾股定理求出OC的长，确定出C的坐标，同理确定出B的坐标；
（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将第一问求出的B，C，D的坐标代入，得到关于a，b及c的方程组，求出方程组的解得到a，b及c的值，即可确定出所求抛物线的解析式；
（3）设P的坐标为（t，0），由过P与x轴垂直的直线与圆O外离，且半径为5，得到t大于5，由F在过P与x轴垂直的直线上，得到F的横坐标为t，将t代入抛物线解析式求出F的纵坐标，表示出F的坐标，进而表示出PC与PF，由∠CPF=90°，当△CPF中一个内角的正切值为

1

2

时，分两种情况考虑，CP比PF等于

1

2

，或PF比CP等于

1

2

，方百年列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，找出t大于5的解，即可确定出P的坐标．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，-3），线段AD=5，
∴点D的坐标（0，2），
连接AC，如图所示：

在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴OC=4，
∴点C的坐标为（4，0）；同理可得点B坐标为（-4，0）；
（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，
则

16a-4b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得：

a=- 1 8 b=0 c=2

，
∴所求的二次函数的解析式为y=-

1

8

x²+2；
（3）设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，
且点F的坐标为（t，-

1

8

t²+2），PC=t-4，PF=

1

8

t²-2，
∵∠CPF=90°，
∴当△CPF中一个内角的正切值为

1

2

时，
①若

CP

PF

=

1

2

时，即

t-4

1 8 t2-2

=

1

2

，解得t₁=12，t₂=4（舍）；
②当

PF

CP

=

1

2

时，即

1 8 t2-2

t-4

=

1

2

，解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），
则所求点P的坐标为（12，0）．

点评：此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：勾股定理，利用待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数定义，以及平面直角坐标系与点的坐标，利用了转化及分类讨论的思想，同时第三问注意求出的t必须大于5．