Question

（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），反比例函数y=

k

x

（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数y=

k

x

（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k即可；
（2）分两步进行解答，①当P在直线BC的上方时，即0＜x＜1，如图1，根据S_{四边形CQPR}=CQ•PD列出S关于x的解析式，②当P在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，依然根据S_{四边形CQPR}=CQ•PD列出S关于x的解析式．

解答：解：（1）∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），
∴C（0，2），
∵D是BC的中点，
∴D（1，2），
∵反比例函数y=

k

x

（x＞0，k≠0）的图象经过点D，
∴k=2；

（2）当P在直线BC的上方时，即0＜x＜1，
如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，
∴y=

2

x

，
∴S_{四边形CQPR}=CQ•PD=x•（

2

x

-2）=2-2x（0＜x＜1），

如图2，同理求出S_{四边形CQPR}=CQ•CR=x•（2-

2

x

）=2x-2（x＞1），
综上S=

2x-2  x＞1 2-2x  0＜x＜1

．

点评：本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答（2）问的函数解析式需要分段求，此题难度不大．