题目内容
【题目】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.
（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；
（2）分别联结EH和EA，当△ABE∽△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；
（3）将劣弧
沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值.
【答案】（1）圆P的半径长为3；（2）
；（3）说明见解析，
.
【解析】分析：
（1）如下图，作AM⊥BC于M，联结AP，由题意易得AM=3，BM=4，tanB=tanC=
，设PH=3k，则可得HC=4k，CP=5k，MP=5-5k，在Rt△APM中，由勾股定理可得
，结合AP=PH即可列出关于k的方程，解方程即可求得k的值，再结合CP<BC检验即可得到所求答案；
（2）由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k，由点E在圆P上可得PE=3k，CE=8k，BE=9-8k，由△ABE∽△CEH可得 
，由此可得：
，解得k的值即可求得圆P的半径和BE的长，结合圆B和圆P的位置关系是相交，即可求得圆B的半径r的取值范围；
（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，
则EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ. 结合已知条件先证△EPQ≌△PHN可得EQ=PN，从而可得EF=EG=2PN，由（1）可知，在Rt△PHC中，若设PH=3k，则HC=4k，PC=5k，由此可得sinC=
，cosC=
，在Rt△CHN中由此可把HN、NC用含k的式子表达出来，进一步可把PN、EN用含k的式子表达出来，这样就可把EH和EF用含k的代数式表达出来，由此即可求得EH和EF的比值，得到相应的结论.
详解：
（1）作AM⊥BC于M，联结AP，
∵梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，
∴BM=(BC-AD)÷2=4，AM=
，
∴tanB= tanC=，
∵PH⊥DC，
∴若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k.
∵BC=9，
∴MP=5-5k.
∴，
∵AP=PH，
∴
，即
，
解得：
，
当
时，CP=
，
∴（舍去），
∴
，
∴圆P的半径长为3；
（2）由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k.
∵点E在圆P上，
∴PE=3k，CE=8k，
∴BE=9-8k，
∵△ABE∽△CEH，
∴，即，
解得：
，
∴
，即圆P的半径为
，
∵圆B与圆P相交，又BE=9-8k=
，
∴；
（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，
则EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ.
∴∠GEP=2∠1，
∵PE=PH，
∴∠1=∠2 ，
∴∠4=∠1+∠2=2∠1，
∴∠GEP=∠4，
∴△EPQ≌△PHN，
∴EQ=PN，
由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，PC=5k，
∴sinC=，cosC=，
∴NC=
，NH=
，
∴PN=
，
∴EF=EG=2EQ=2PN=
，EH=
，
∴，即线段EH和EF的比值为定值.
【题目】如图，在边长为
的正方形四个角上，分别剪去大小相等的等腰直角三角形，当三角形的直角边由小变大时，阴影部分的面积也随之发生变化，它们的变化情况如下：
三角形的直角边长/ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
阴影部分的面积/ | 398 | 392 | 382 | 368 | 350 | 302 | 272 | 200 |
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）请将上述表格补充完整；
（3）当等腰直角三角形的直角边长由
增加到
时，阴影部分的面积是怎样变化的？
（4）设等腰直角三角形的直角边长为
，图中阴影部分的面积为
，写出
与
的关系式.
