题目内容
【题目】(1)如图，已知点A、B在双曲线
（x>0）上，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为b．A与B的坐标分别为_____、______(用b与k表示)，由此可以猜想AP与CP的数量关系是______.
(2)四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y
与y
的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P，P是BD的中点，点B的横坐标为4．
①当
时，判断四边形ABCD的形状并说明理由.
②四边形ABCD能否成为正方形？若能，直接写出此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【答案】
，相等；(2)①菱形，理由见解析；②m+n=32.
【解析】
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可得B点坐标，可得点P的纵坐标，由P为AC中点可得PA=PC及点A的纵坐标，代入反比例函数解析式可得A的横坐标，即可得点A坐标；（2）①由B点横坐标可得B点坐标及点D的横坐标，代入y=
可得D点坐标，由点P为BD中点可得点P坐标，把P点纵坐标代入y=
和y=可得A、C两点坐标，即可求出PA、PC的长，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可得答案；②先确定B（4，
），D（4，
），即可求出P点坐标，进而可得A、C坐标，根据AC=BD即可得m、n之间的数量关系.
（1）∵点B在反比例函数
图象上，点B横坐标为b，
∴y=
，即B（b，），
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，AC、BD交于点P，
∴P点纵坐标为，
∵点P为AC中点，
∴AP=PC，点A的纵坐标为
，
∵点A在图象上，
∴=
，
解得：x=
，
∴A（，）.
故答案为：（，），（b，），相等.
(2)①四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵点B的横坐标为4，m=4，n=20，
∴yB=
=1，yD=
=5，
∴B（4，1），D（4，5），
∵P是BD中点，
∴P(4，3)，
∴点A、C的纵坐标为3，
∴3=
，3=
，
解得：xA=
，xC=
，
∴A
，
∴PA=4-=
，PC=-4=，
∴PA=PC
∵PB=PD，BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形
(3)∵点B的横坐标为4，
∴B（4，），D（4，），
∵点P为BD中点，
∴P（4，
），
∴A（
，），C（
，），
∵ABCD是正方形，
∴AC=BD，即-=-，
∴m+n=32.
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