题目内容

【题目】已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线ABx轴、y轴的交点分别为A,将对折,使点O的对应点H恰好落在直线AB上,折痕交x轴于点C

求过ABC三点的抛物线解析式;

若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;

若点Q是抛物线上一个动点,使得以ABQ为顶点并且以AB为直角边的直角三角形,直接写出Q点坐标.

【答案】(1);(2)直线BC上不存在符合题意的点P,使得四边形ODAP为平行四边形;(3)

【解析】试题分析:

(1)由OB=3,tan∠OAB=,∠AOB=90°,可得AO=4,即点A的坐标为(4,0)由此可得AB=5;由题意可知BC平分∠ABO,从而可得OC:AC=OB:AB=3:5,从而可得OC=1.5,即点C的坐标为(1.5,0),再用“待定系数法”即可求得抛物线的解析式;

(2)把(1)中所得解析式配方可得点D的坐标,由B、C两点坐标可求得BC的解析式,设点EOA中点,则可得点E的坐标为(2,0),若四边形ODAP是平行四边形,则点D和点P关于点E对称,由此可得点P的坐标,将所得的点P的坐标代入BC的解析式检验,看点P是否在直线BC上,即可得到结论;

(3)过点A、B分别作AB的垂线,由AB的解析式求出两条垂线的解析式,把两解析式分别和抛物线的解析式组合得到列方程组,解方程组即可求得点Q的坐标.

试题解析

(1)如图,∵OB=3,tan∠OAB=,∠AOB=90°,

∴OA=4,AB=

由题意可知BC平分∠ABO,

∴OC:AC=OB:AB=3:5,

∴OC==1.5,

A、B、C的坐标分别为(4,0),(0,3),(1.5,0),

可设抛物线解析式为

,解得:

抛物线的解析式为,即

(2)∵

D的坐标为

设点EOA的中点,则点E的坐标为(2,0),若四边形ODAP是平行四边形,则点P和点D关于E点对称,由此可得点P的坐标为

直线BC过点B(0,3)和点C(1.5,0),

直线BC的解析式为

中,当时,

P不在直线BC上,

直线BC上不存在点P使四边形ODAP为平行四边形;

(3)过点A作直线l1⊥AB,过点B作直线l2⊥AB,

A、B的坐标分别为(4,0)和(0,3),

直线AB的解析式为:

可得直线l1的解析式为:,直线l2的解析式为:

解得

解得:

Q不能与点A和点B重合,

Q的坐标为.

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