题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E是BC上一动点（不与B、C重合），且DF⊥AE，
垂足为F．设AE=xcm，DF=ycm．（1）求证：△DFA∽△ABE；
（2）试求y与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
分析：（1）要求△ABE∽△DFA，能看出有一对直角相等，只需要再找一对角相等，因为四边形ABCD是长方形，那么就出现平行线，有线的平行可得出一对内错角相等，故可证两三角形相似．
（2）由（1）的相似，可得到比例线段，就可得出x与y的关系式，通过观察图可以知道，AE最小大于AB，最大小于AC，再由勾股定理可求出AC的值，因此可得x的取值范围．
（2）由（1）的相似，可得到比例线段，就可得出x与y的关系式，通过观察图可以知道，AE最小大于AB，最大小于AC，再由勾股定理可求出AC的值，因此可得x的取值范围．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∠ABE=90°．
∴∠DAF=∠AEB．
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°．
∴∠ABE=∠DFA．
∴△ABE∽△DFA．
（2）∵△ABE∽△DFA，
∴
=
．
∴
=
．
∴xy=12．
∴y=
．
根据图可知，AE最小大于AB，最大小于AC，AC=
=
=5．
∴3＜x＜5．
∴AD∥BC，∠ABE=90°．
∴∠DAF=∠AEB．
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°．
∴∠ABE=∠DFA．
∴△ABE∽△DFA．
（2）∵△ABE∽△DFA，
∴
| AB |
| DF |
| AE |
| AD |
∴
| 3 |
| y |
| x |
| 4 |
∴xy=12．
∴y=
| 12 |
| x |
根据图可知，AE最小大于AB，最大小于AC，AC=
| AB2+BC2 |
| 32+42 |
∴3＜x＜5．
点评：本题利用了相似三角形的判定及勾股定理．
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．
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