题目内容
【题目】如图所示,在平行四边形ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN.
(1)求证:△AEM≌△CFN;
(2)求证:BD与MN互相平分.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】试题分析:(1)先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC,∠DAB=∠BCD,再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F,∠EAM=∠FCN,从而利用ASA可作出证明;
(2)根据平行四边形的性质及(1)的结论可得BM 平行且等于DN,则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BMDN是平行四边形,再由平行四边形的性质即可证明结论.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB=∠BCD,所以∠EAM=∠FCN.
∵AD∥BC,所以∠E=∠F.
又∵AE=CF,
∴△AEM≌△CFN.
(2)由(1)得△AEM≌△CFN,
∴AM=CN.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴BM∥DN,AB-AM=CD-CN,即BM=DN.
∴四边形BMDN是平行四边形.
∴BD与MN互相平分.
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