题目内容
【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
先根据正方形的性质和中点的性质判断③正确，再根据SAS证出△ADE≌△BAF，得出∠AME＝90°，从而证出∠GND＝90°再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出DG=MG,，利用等腰三角形的三线合一，得出DN=MN，从而得出CG垂直平分DM，从而得出①②正确，再利用等腰三角形的性质和四边形的内角和证明④不成立即可．
解：正方形ABCD中，AD=BC
∵点E、F、分别为边AB、BC上的中点，
∴AG∥FC且AG＝FC，
∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确；
∴AF//CG
∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND
在△ADE和△BAF中，
∵
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AEM＝90°
∴∠EAM+∠AEM＝90°
∴∠AME＝90°
∴∠GND＝90°
∴DE⊥CG．
∵∠AMD＝90°,G点为AD中点，
∴DG=MG, DE⊥CG．
∴CG垂直平分DM，
∴CD＝CM，
但是∠MDC不等于60°，所以
CD不等于DM故②错误；
在△GDC和△GMC中，
∵ 
，
∴△GDC≌△GMC（SSS），
∴∠CDG＝∠CMG＝90°，∠MGC＝∠DGC，
∴GM⊥CM，故①正确；
∵∠CDG＝∠CMG＝90°，
∴∠MGD+∠DCM=360°-∠CDG-∠CMG=180°
∵∠AGM+∠MGD=180°，
∴∠AGM＝∠DCM，
∵CD＝CM，
∴∠CMD＝∠CDM，
在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，
∴DM＜AD，
∴DM＜CD，
∴∠DMC≠∠DCM，
∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．
故选：B．
