题目内容
【题目】如图,于点
,
为等腰直角三角形,
,当
绕点
旋转时,记
.
(1)过点作
交射线
于点
,作射线
交射线
于点
.
①依题意补全图形,求的度数;
②当时,求
的长.
(2)若上存在一点
,且
,作射线
交射线
于点
,直接写出
长度的最大值.
【答案】(1)①见解析, 45°②7;(2)见解析,
【解析】
(1)①作于点H,
交
的延长线于点
,证明AHO≌AGB, 即可求得∠ODC的度数;
②延长交
于点
,利用条件可求得AK、OK的长度,于是可求OD的长;
(2)分析可知,点B在以O为圆心,OB为半径的圆上运动(个圆),所以当PB是圆O的切线时,PQ的值最大,据此可解.
解:(1)①补全图形如图所示,过点作
于点H,
交
的延长线于点
,
∵,
,
,
∴∠AGB=∠AHO=∠C =,
∴∠GAH=,
∴∠OAH+∠HAB=∠GAB+∠HAB=,
∴∠OAH =∠GAB, 四边形为矩形,
∵为等腰直角三角形,
∴OA=AB,
∴AHO≌AGB,
∴AH=AG,
∴四边形为正方形,
∴∠OCD=45°,
∴∠ODC=45°;
②延长交
于点
,
∵,OA=5,
∴AK=4,
∴OK=3,
∵∠ODC=45°,
∴DK=AK=4
∴ ;
(2)如图,
∵绕点
旋转,
∴点B在以O为圆心,OB为半径的圆上运动(个圆),
∴当PB是圆O的切线时,PQ的值最大,
∵
∴
∴∠OPB=45°,
∴ OQ=OP=10,
∴.
∴长度的最大值是
.
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