Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，O为斜边AB上的一点，以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，若AC=1，BC=3，则⊙O的半径为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、

  4

  5

Answer 1

分析：如图，连接OE，OF，设圆的半径为R，OE=OF=R，根据已知条件可以推出则四边形AFOE是正方形，从而得到OF∥AC，可得△OBF∽△ABC，可得OF：AC=FB：BC，由此可以把BF用R表示，同理AE也可以用R表示，然后由勾股定理得，AO=

10

3

R，BO=

10

R，AB=

10

，由此即可求出R．

解答：解：方法一：
如图，连接OE，OF，
设圆的半径为R，
∴OE=OF=R，
∵以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，
∴四边形CEOF是正方形，
∴OF∥AC，
∴△OBF∽△ABC，
∴OF：AC=FB：BC，
∴BF=3R，
同理，AE=

1

3

R，
由勾股定理得，AO=

10

3

R，BO=

10

R，AB=

10

，
∵AO+BO=AB，
∴R=

3

4

．
方法二：连接CO，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴S_△ACB=

1

2

×AC×BC=

3

2

，
∵S_△ACO+S_△COB=S_△ACB=

3

2

，
∴

1

2

×EO×1+

1

2

×FO×3=

3

2

，
解得：EO=

3

4

，
则⊙O的半径为

3

4

．
故选C．

点评：本题利用了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理求解，有一定的难度．