题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,二次函数y=x2+c的图象抛物线交x轴于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣3).

(1)求∠ABC的度数;
(2)若点D是第四象限内抛物线上一点,△ADC的面积为 ,求点D的坐标;
(3)若将△OBC绕平面内某一点顺时针旋转60°得到△O′B′C′,点O′,B′均落在此抛物线上,求此时O′的坐标.

【答案】
(1)解:由题意与y轴交于点C(0,﹣3),

∴得解析式为y=x2﹣3,

令y=0,x=±

∴B( ,0),A(﹣ ,0),

∴OA= ,OC=3,AC=2

∴∠OCA=30°,

∴∠ABC=60°;


(2)解:由(1)得:OA= ,OC=3,

∴SOAC= ×3× =

过原点与AC平行的直线y=﹣

直线与抛物线的交点即为点D,

联立:

解得x1= ,x2= (舍去),

∴D ( ).


(3)解:设点O′(m,m2﹣3),

∵顺时针旋转60°,

则点B′(m+ ,m2 ),

∴(m+ )﹣3=m2

∴m=﹣

∴O′(﹣ ,﹣ ).


【解析】(1)通过待定系数法求出函数解析式,可以求出相应的线段的长度,观察AC=2OA,进而求出∠ABC的度数
(2)通过观察SADC=SOAC,可以判断直线OD∥AC,求出直线与抛物线的交点即为D
(3)利用点O'B'都在抛物线上,设出点O'的坐标,通过旋转得B’的坐标,将B’带入抛物线解析式即可求出。
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点),还要掌握二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键.

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