题目内容
【题目】(2016山西省第19题）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是
的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是
的中点， ∴MA=MC ．．．
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于
，AB=2，D为上一点， 
，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是 ．
【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、2+2
【解析】
试题分析：(1)、已截取CG=AB ∴只需证明BD=DG，且MD⊥BC，所以需证明MB=MG，故证明△MBA≌△MGC即可；(2)、AB=2，利用三角函数可得BE=
，由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC，则△BDC周长=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE=BC+（DC+DE）+BE=BC+BE+BE=BC+2BE，然后代入计算可得答案
试题解析：(1)、又∵
， ∴ △MBA≌△MGC． ∴MB=MG．
又∵MD⊥BC，∵BD=GD． ∴CD=CG+GD=AB+BD．
(2)、 
．
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