Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

分析：（1）把B、C两点的坐标代入二次函数y=x²+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x²-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3），再根据S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ即可得出结论．

解答：解：（1）∵点B（3，0），C（0，-3）在二次函数y=x²+bx+c的图象上，
∴将B、C两点的坐标代入得

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：

b=-2 c=-3

∴二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；

（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，
设P（x，x²-2x-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
∴Q点的坐标为（x，x-3），
∴S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ
=

1

2

AB•OC+

1

2

QP•OE+

1

2

QP•EB
=

1

2

×4×3+

1

2

（3x-x²）×3
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

，
∴当x=

3

2

时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（

3

2

，-

15

4

），四边形ABPC的面积

75

8

．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度适中．