题目内容
25、△ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠AQN=60°．
分析：（1）根据已知条件，利用SAS定理即可证明△ABM≌△BCN．
（2）根据△ABM≌△BCN（已证），可得∠AMB=∠BNC，然后利用△BQM∽△BCN即可得出结论．
（2）根据△ABM≌△BCN（已证），可得∠AMB=∠BNC，然后利用△BQM∽△BCN即可得出结论．
解答：证明；（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠=BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN；
（2）∵△ABM≌△BCN（已证）．
∴∠AMB=∠BNC，
∵∠MBQ=∠NBC（公共角），
∴△BQM∽△BCN，
∴∠BQM=∠C=60°
∵∠BQM和∠AQN是对顶角，
∴∠AQN=60°．
∴AB=AC=BC，∠=BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN；
（2）∵△ABM≌△BCN（已证）．
∴∠AMB=∠BNC，
∵∠MBQ=∠NBC（公共角），
∴△BQM∽△BCN，
∴∠BQM=∠C=60°
∵∠BQM和∠AQN是对顶角，
∴∠AQN=60°．
点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，有点难度，属于中档题．
练习册系列答案
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