Question

25、如图，已知△ABC为等边三角形，CF∥AB，点P为线段AB上任意一点（点P不与A、B重合），过点P作PE∥BC，分别交AC、CF于G、E．
（1）四边形PBCE是平行四边形吗？为什么？
（2）求证：CP=AE；
（3）试探索：当P为AB的中点时，四边形APCE是什么样的特殊四边形？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件PE∥BC，CF∥AB，利用两条对边互相平行的四边形是平行四边形可直接的证出结论；
（2）证出PB=EC，∠B=∠2再加上条件BC=CA，可得△BPC≌△CEA，可得到CP=AE；
（3）首先证明四边形APCE是平行四边形，再证明∠APC=90°，即可以证出四边形APCE是矩形．

解答：解：（1）四边形PBCE是平行四边形…（1分）
理由：∵CF∥AB（即CE∥BP），PE∥BC，
∴四边形PBCE是平行四边形…（3分）；
（2）证明：（如图1）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠1=60°，BC=CA，
∵CF∥AB，
∴∠2=∠1，
∴∠B=∠2…（4分），
又由（1）知四边形PBCE为平行四边形，
∴PB=EC…（5分），
在△BPC和△CEA中，
PB=EC，∠B=∠2，BC=CA，
∴△BPC≌△CEA…（6分），
∴CP=AE…（7分）；
（3）当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形（如图2），…（8分）
理由：∵P为AB的中点，
∴AP=BP，
又由（2）证得：BP=CE，
∴AP=CE，
∵CF∥AB，
即EC∥AP，
∴四边形APCE是平行四边形…（10分）
又∵△ABC是等边三角形，P为AB的中点，
∴CP⊥AB（“三线合一”），
∴∠APC=90°…（12分），
∴四边形APCE是矩形…（13分）．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键，此题综合性较强，难度较大．