Question

16、如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG=45°，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．则下列结论：①∠ECB是锐角；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE+GD中一定成立的结论有

①③④

（写出全部正确结论）．

Answer 1

分析：根据题意∠ECB在∠BCD=90°内部，可知∠ECB是锐角；根据点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG=45°，判断不出AE与AG的大小；由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．

解答：解：根据题意∠ECB在∠BCD=90°内部，可知∠ECB是锐角，故①正确；
根据点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG=45°，判断不出AE与AG的大小，故②错误；
在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF，∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，故③正确；
又GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质及旋转和正方形的性质，注意证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在证EG=BE+GD也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．