题目内容

如图已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
(1)由于抛物线经过A(-2,4)和点B(1,0),则有:
4m-4m+n=4
m+2m+n=0
,解得
m=-
4
3
n=4

故m=-
4
3
,n=4.

(2)由(1)得:y=-
4
3
x2-
8
3
x+4=-
4
3
(x+1)2+
16
3

由A(-2,4)、B(1,0),可得AB=
(1+2)2+(0-4)2
=5;
若四边形AA′B′B为菱形,则AB=BB′=5,即B′(6,0);
故抛物线需向右平移5个单位,即:
y=-
4
3
(x+1-5)2+
16
3
=-
4
3
(x-4)2+
16
3


(3)由(2)得:平移后抛物线的对称轴为:x=4;
∵A(-2,4),B′(6,0),
∴直线AB′:y=-
1
2
x+3;
当x=4时,y=1,故C(4,1);
所以:AC=3
5
,B′C=
5
,BC=
10

由(2)知:AB=BB′=5,即∠BAC=∠BB′C;
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似,则:
①∠B′CD=∠ABC,则△B′CD△ABC,可得:
B′C
AB
=
B′D
AC
,即
5
5
=
B′D
3
5
,B′D=3,
此时D(3,0);
②∠B′DC=∠ABC,则△B′DC△ABC,可得:
B′C
AC
=
B′D
AB
,即
5
3
5
=
B′D
5
,B′D=
5
3

此时D(
13
3
,0);
综上所述,存在符合条件的D点,且坐标为:D(3,0)或(
13
3
,0).
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