题目内容

【题目】阅读以下内容,并回答问题:

若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍,我们称这样的三角形为奇异三角形.

(1)命题“等边三角形一定是奇异三角形”是 命题(填“真”或“假”);

(2)在ABC中,已知C=90°,ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且ba,若RtABC是奇异三角形,求a:b:c;

(3)如图,已知AB是O的直径,C是O上一点(点C与点A、B不重合),D是半圆的中点,C、D在直径AB的两侧,若存在点E,使AE=AD,CB=CE.求证:ACE是奇异三角形.

【答案】(1)真(2)(3)证明见解析

【解析】

试题分析:(1)直接根据奇异三角形的定义直接得出结论;

(2)先根据勾股定理得出a2+b2=c2,再由RtABC是奇异三角形,且ba可知a2+c2=2b2,把a当作已知条件表示出b,c的值,进而可得出结论;

(3)连接BD,根据圆周角定理得出ACB=ADB=90°,在RtACB与在RtADB中可得出AC2+BC2=AB2,AD2+BD2=AB2,根据点D是半圆的中点,得出.故可得出AD=BD.通过等量代换可得出AC2+CB2=2AD2.再由CB=CE,AE=AD可得出AC2+CE2=2AE2故可得出结论.

试题解析:(1)若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍,我们称这样的三角形为奇异三角形,

等边三角形一定是奇异三角形是真命题.

故答案为:真;

(2)∵∠C=90°,

a2+b2=c2①.

RtABC是奇异三角形,且ba,

a2+c2=2b2②.

由①②得:b=a,c=a.

a:b:c=

(3)连接BD.

AB是O的直径,

∴∠ACB=ADB=90°.

在RtACB中,AC2+BC2=AB2

在RtADB中,AD2+BD2=AB2

点D是半圆的中点,

AD=BD.

AB2=AD2+BD2=2AD2

AC2+CB2=2AD2

CB=CE,AE=AD,

AC2+CE2=2AE2

∴△ACE是奇异三角形.

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