题目内容

【题目】如图,ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将PQN绕QN的中点旋转180°得到MNQ.设四边形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0t3).

(1)当点N落在边BC上时,求t的值.

(2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值.

(3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式.

(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值.

【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2(4)t=1或

【解析】

试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;

(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ;

(3)当0t时,四边形PQMN与ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当t时,四边形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形PQFEN.

(4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时t,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值.

试题解析:(1)∵△PQN与ABC都是等边三角形,

当点N落在边BC上时,点Q与点B重合.

DQ=3

2t=3.

t=

(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,

PD=DQ,

当0t时,

此时,PD=t,DQ=2t

t=2t

t=0(不合题意,舍去),

t3时,

此时,PD=t,DQ=6﹣2t

t=6﹣2t,

解得t=2;

综上所述,当点N到点A、B的距离相等时,t=2;

(3)由题意知:此时,PD=t,DQ=2t

当点M在BC边上时,

MN=BQ

PQ=MN=3t,BQ=3﹣2t

3t=3﹣2t

解得t=

如图①,当0t时,

SPNQ=PQ2=t2

S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2

如图②,当t时,

设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,

MN=PQ=3t,NE=BQ=3﹣2t,

ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3,

∵△EMF是等边三角形,

SEMF=ME2=(5t﹣3)2

(4)MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,

此时t

t=1或

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